الجبر الخطي الأمثلة

$a = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{array}]$

خطوة 1

أوجِد القيم الذاتية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$

خطوة 1.2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $2$ هي المصفوفة المربعة $2 \times 2$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{array}] - λ I_{2})$

خطوة 1.3.2

عوّض بقيمة $I_{2}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 1.4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 2 - λ & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أضف $- 1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 2 - λ & - 1 \\ - 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2

أضف $- 2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 2 - λ & - 1 \\ - 2 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (3 - λ) - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.1

وسّع $(2 - λ) (3 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 2 (3 - λ) - λ (3 - λ) - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 2 \cdot 3 + 2 (- λ) - λ (3 - λ) - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 2 \cdot 3 + 2 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.2.1.1

اضرب $2$ في $3$ .

$p (λ) = 6 + 2 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$p (λ) = 6 - 2 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.2.1.2.1.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$p (λ) = 6 - 2 λ - 3 λ - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 6 - 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = 6 - 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = 6 - 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = 6 - 2 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = 6 - 2 λ - 3 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.2.1.2.2

اطرح $3 λ$ من $- 2 λ$ .

$p (λ) = 6 - 5 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 1.5.2.1.3

اضرب $- (- 2 \cdot - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.3.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$p (λ) = 6 - 5 λ + λ^{2} - 1 \cdot 2$

خطوة 1.5.2.1.3.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$p (λ) = 6 - 5 λ + λ^{2} - 2$

خطوة 1.5.2.2

اطرح $2$ من $6$ .

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} + 4$

خطوة 1.5.2.3

أعِد ترتيب $- 5 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 4$

خطوة 1.6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$λ^{2} - 5 λ + 4 = 0$

خطوة 1.7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

حلّل $λ^{2} - 5 λ + 4$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $4$ ومجموعهما $- 5$ .

$- 4, - 1$

خطوة 1.7.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(λ - 4) (λ - 1) = 0$

خطوة 1.7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$λ - 4 = 0$

$λ - 1 = 0$

خطوة 1.7.3

عيّن قيمة العبارة $λ - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

عيّن قيمة $λ - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 4 = 0$

خطوة 1.7.3.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 4$

خطوة 1.7.4

عيّن قيمة العبارة $λ - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

عيّن قيمة $λ - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 1 = 0$

خطوة 1.7.4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 1$

خطوة 1.7.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(λ - 4) (λ - 1) = 0$ صحيحة.

$λ = 4, 1$

خطوة 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{a} = N (a - λ I_{2})$

خطوة 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

اضرب $- 4$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.2

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.3

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.4

اضرب $- 4$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \end{array}]$

خطوة 3.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 2 - 4 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

خطوة 3.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اطرح $4$ من $2$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.2

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ - 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.3

أضف $- 2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ - 2 & 3 - 4 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.4

اطرح $4$ من $3$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ - 2 & - 1 \end{array}]$

خطوة 3.3

Find the null space when $λ = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & 0 \\ - 2 & - 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 1 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ - 2 & - 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ - 2 & - 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 1 + 2 (\frac{1}{2}) & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{2} y = 0$

$0 = 0$

خطوة 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{2} \\ y \end{array}]$

خطوة 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

خطوة 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

خطوة 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 2 - 1 & - 1 - 0 \\ - 2 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اطرح $1$ من $2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 - 0 \\ - 2 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.2

اطرح $0$ من $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 2 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.3

اطرح $0$ من $- 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 2 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.4

اطرح $1$ من $3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 2 & 2 \end{array}]$

خطوة 4.3

Find the null space when $λ = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 2 & 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 2 + 2 \cdot - 1 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.1.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

خطوة 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

خطوة 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

خطوة 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

خطوة 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 5

The eigenspace of $a$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$